Interdisciplinariedade
Acreditando que o aprendizado se dá de maneira mais eficaz quando o aluno quer saber sobre o assunto, busquei em uma disciplina de Arte responder por meio da Matemática, uma dúvida levantada por um aluno, que ao fazer a releitura da obra Abaporu de Tarsila do Amaral, questionou sobre como é possível descobrir o número do calçado sem medir o tamanho do pé. a partir dessa aula foi possível a escrita deste artigo:
DESCOBRINDO O NÚMERO DO CALÇADO À
LUZ DA MODELAGEM MATEMÁTICA NOS ANOS INICIAIS DO ENSINO FUNDAMENTAL
Daiane
Aparecida Pego Butcke
Universidade
Tecnológica Federal do Paraná – Campus Toledo
daiapegobutcke@gmail.com
Milena
Evelin Rodrigues de Freitas Carvalho
Universidade
Tecnológica Federal do Paraná – Campus Toledo
milena.evelin@hotmail.com
Emerson
Tortola
Universidade
Tecnológica Federal do Paraná – Campus Toledo
emersontortola@utfpr.edu.br
Resumo: Este texto relata uma experiência de ensino com modelagem matemática em
uma turma de 4º ano do Ensino Fundamental de uma escola pública do Oeste do
Paraná. A problematização surgiu a partir da recriação da obra “Abaporu”, de Tarsila
do Amaral, quando os alunos observaram que o tamanho do pé do personagem da obra
era muito grande para o tamanho do
corpo e questionaram quanto mediria esse pé e qual número de calçado usaria. Essas
indagações levaram os alunos, sob mediação da professora, a investigar uma
relação entre o tamanho de um pé e sua numeração padronizada. Algumas
informações nos indicaram que essa relação surgiu a partir da medição do pé
usando grãos, que descobrimos funcionar com os grãos de arroz. Observamos que a
quantidade desses grãos enfileirados sobre o desenho do pé indicava o número do
calçado de cada um. Dessa forma, o desenho do pé feito pelos alunos pode ser
considerado o modelo matemático da situação e sua construção e discussão oportunizou
o estudo de proporcionalidade.
Palavras-chave:
Modelagem matemática; Anos iniciais; Problematização.
Introdução
A curiosidade pode ser encarada
como a primeira fonte do saber. As descobertas ocorrem em sua maioria a partir
do surgimento de problemas e indagações, seguidas de investigações e de
aprovação ou refutação de hipóteses. Essa é uma das características da ciência,
a investigação.
A matemática não difere das demais
ciências neste ponto. Embora seja comum na escola o trabalho com soluções
exatas, os modos como chegar a essas soluções é um ponto importante no ensino
de matemática, e a partir do estudo desses modos, é possível também trabalhar
com a matemática como meio de analisar situações-problemas da realidade, cujas
soluções não são tão exatas assim. Despertar a curiosidade dos alunos, desde
cedo, para as investigações sob essa perspectiva é uma estratégia que pode os
auxiliar na compreensão dos fundamentos e conceitos matemáticos. Neste sentido,
a modelagem matemática pode ser considerada uma alternativa interessante para
ser utilizada em sala de aula, pois consiste na abordagem de diferentes temas
da realidade, tomando a matemática como ferramenta para sua análise e
interpretação.
A modelagem matemática, em geral, é
vista na literatura como meio para a obtenção de modelos matemáticos para
descrever, explicar ou predizer aspectos associados a uma determinada situação
(ALMEIDA; SILVA; VERTUAN, 2012), porém, muitas vezes esses modelos são vistos
apenas, como funções, o que limita a visão de modelagem a um ajuste de curvas.
Conforme Almeida, Silva e Vertuan
(2012), diferentes tipos de representação podem ser utilizados para se produzir
um modelo matemático. Neste contexto, relatamos uma atividade de modelagem
desenvolvida com alunos de um 4º ano do Ensino Fundamental de uma escola
municipal pública situada no Oeste do estado do Paraná, os quais utilizaram algumas
representações diferentes das que frequentemente encontramos na literatura como
modelos matemáticos para a situação que estudaram: a relação entre o tamanho de
seu pé e o número de sapato correspondente.
A problemática do presente estudo
surgiu a partir de uma curiosidade em uma aula da disciplina de Arte, na qual a
professora – primeira autora deste texto e acadêmica do curso de licenciatura
em matemática – ao propor a releitura da obra Abaporu da escritora Tarsila do
Amaral, ouve uma indagação de um aluno a respeito do tamanho do pé da
personagem da obra, e levanta o problema, que tornou-se a pergunta da pesquisa:
como descobrir o número do calçado que
usamos sem precisar prová-lo?
Desta forma, com a oportunidade em
mãos, a professora usa o problema para promover o estudo de uma
situação-problema de interesse dos alunos por meio da matemática, indicando a
possibilidade de uso da matemática em um contexto diferente que aquele da sala
de aula, com o qual estão acostumados.
Considerações
sobre matemática nos anos iniciais do Ensino Fundamental
Em um mundo em que
mudanças e inovações ocorrem a todo o tempo, o ensino da matemática tem sido
desafiador, pois aulas com caráter expositivo, centradas no professor e que pouco
exigem dos alunos não condizem com o contexto social em que eles se encontram, uma
vez que essas aulas pouco oferecem aos alunos no que diz respeito a usar a
matemática para lidar com situações de sua vida. Nesse sentido, como relata Lautenschlager e Alencar (2014), aulas
pautadas no paradigma do exercício, em que o professor apresenta o conteúdo
oralmente, partindo de definições e exemplos, seguindo com exercícios de
fixação, não têm apresentado muita eficácia.
Consta nos Parâmetros
Curriculares Nacionais: Matemática (1997, p.19) que:
Aprendizagem em Matemática está ligada à compreensão, isto é, à apreensão
do significado; apreender o significado de um objeto ou acontecimento pressupõe
vê-lo em suas relações com outros objetos e acontecimentos. Assim, o tratamento
dos conteúdos em compartimentos estanques e numa rígida sucessão linear deve
dar lugar a uma abordagem em que as conexões sejam favorecidas e destacadas. O
significado da Matemática para o aluno resulta das conexões que ele estabelece
entre ela e as demais disciplinas, entre ela e seu cotidiano e das conexões que
ele estabelece entre os diferentes temas matemáticos.
Além disso, a
matemática ainda é vista por muitos como uma matéria difícil, complicada e
assim temida pelos alunos, explicam Almeida e Vertuan (2014), complementando, é
importante inserir “atividades com características de problematização e
investigação desde os primeiros anos escolares”.
Identificamos na
modelagem matemática uma possibilidade para atrair o interesse dos alunos às
aulas de matemática e de mostrar e vivenciar o quanto a matemática pode ser
útil em diferentes situações da realidade. Lautenschlager e Alencar (2014) apontam que a modelagem matemática é de
grande valor para as aulas, viabilizando a interação da matemática com a
realidade.
Tortola e Almeida (2013)
explicam que quando a modelagem matemática é utilizada nas dinâmicas das aulas,
contribui para o desenvolvimento da aprendizagem em vários aspectos,
possibilitando a autonomia do aluno para a resolução de problemas matemáticos
típicos à sua realidade, contemplando sua capacidade e conhecimento, permitindo
assim a construção do seu conhecimento na área.
Para quebrar as
barreiras entre aluno e matemática, mencionadas por Lippmann (2009), a autora
explica que é necessário respeitar as particularidades do pensamento infantil e
trazer oportunidades de relações, experiências e construções de hipóteses, para
que assim o aluno aprenda porque é preciso estudar matemática.
Conforme Lorenzato (2008, p. 3) “ensinar é dar
condições para que o aluno construa o seu próprio conhecimento. Vale salientar
a concepção de que há ensino somente quando houver aprendizado”.
Visando o aprendizado
dos alunos, a modelagem matemática é entendida como um processo de aprendizagem
através de atividades contextualizadas, que possuem o objetivo de promover a
elaboração de situação-problemas por meio de investigações, auxiliando na
utilização e produção do conhecimento matemático dos alunos (ROSA; OREY, 2012).
A arte da modelagem é
desenvolvida pela sociedade humana desde início da história e aplicada à matemática,
sendo abordada como um elemento criado pela sociedade para representar
situações que fazem produzir a ciência para a solução de problemas surgidos. Esse
elemento destaca o raciocínio e o pensamento utilizado para o encontro desta
solução (MENDES, 2009).
Sob essa perspectiva,
observamos que o uso da modelagem matemática pode contribuir para a construção
do conhecimento, possibilitando ao aluno meios para investigar situações-problema
usando para isso os conceitos matemáticos.
Modelagem
matemática
Com a modelagem podemos fazer investigações para
interpretar diferentes situações. Desta forma, junto com os colegas e o
professor, o aluno vai aprender e utilizar os conhecimentos matemáticos para a compreensão
dos problemas e, trazer junto à sala de aula conhecimentos adquiridos pela sua
cultura local encontrando respostas às questões relevantes (MEYER; CALDEIRA;
MALHEIROS, 2011).
Segundo Mendes (2009) a modelagem matemática inicia
com um amplo problema baseado em experiências, que busca por meio de
procedimentos de análise encontrar conceitos e modelos matemáticos apropriados
para encontrar a solução do problema analisado, instigando o aluno a seguir uma
lógica viva e descoberta.
O dicionário da língua
portuguesa define a palavra modelo como “representação de algo”. A construção
de modelos permite a demonstração de conhecimento, com uma finalidade
pedagógica e quando vinculada a algum conceito, “o modelo matemático é o que dá
a forma à solução do problema, e a modelagem matemática é a atividade de busca
por esta solução” (ALMEIDA;
SILVA; VERTUAN, 2012).
É por meio da produção de um modelo matemático que o
aluno pode compreender aspectos associados a uma determinada situação e identificar
esses aspectos em outras situações, compreendendo com o auxílio da matemática a
observar regularidades e a fazer reflexões sobre elas.
Como
fazer modelagem durante as aulas de matemática
Conforme Almeida e Vertuan (2011), a modelagem
matemática pode ser abordada por meio de uma situação-problema inicial, em que para
a solução final deste problema será necessário um conjunto de conceitos e
procedimentos objetivando a compreensão da situação-problema inicial até a sua
solução. Os autores ainda afirmam que a relação de experiência vivida pelo
aluno (situação-problema) e os conceitos matemáticos que o mesmo possui, servem
de elementos de estudo e integração de conhecimentos matemáticos e não
matemáticos, para o encontro da solução final, associando assim uma
representação matemática, e um modelo matemático.
Para Almeida, Silva e Vertuan (2012), a modelagem
matemática possui as seguintes fases: inteiração (primeiro contato do aluno com
o problema); matematização (transição da linguagem natural para a linguagem
matemática); resolução (construção do modelo matemático); interpretação de
resultados (análise de uma resposta adequada para o problema) e validação
(avaliação que valida o resultado).
Para trabalhar com a
modelagem, o professor tem que ter além do conhecimento matemático, a
criatividade e intuição para interpretar o problema, distinguindo o melhor
conteúdo matemático que se adapta para a descrição e interação com outras áreas
de conhecimento, tornando estes um fator fundamental para a educação científica
através do desenvolvimento de competências e habilidades (ALMEIDA; VERTUAN, 2011).
A modelagem matemática,
portanto, exige do aluno conhecimento e criatividade para a construção do
modelo matemático para encontrar o resultado de determinado problema. Mas é
preciso ainda que o professor esteja preparado para lidar com essa configuração
de aula, em que ele exercerá o papel de orientador dos estudos e não mais o
único responsável pela construção do conhecimento, além disso, ele deve estar
aberto ao diálogo, para compreensão das atitudes dos alunos e das produções
realizadas por eles.
Aspectos
metodológicos e contexto da pesquisa
Para a análise do
assunto abordado neste artigo utilizou-se a abordagem de pesquisa qualitativa
que, segundo Godoy (1995), este tipo de pesquisa tem como fonte direta o
ambiente natural para a coleta de dados, onde o pesquisador é o instrumento
fundamental. A autora segue explicando que estudos de caráter qualitativo têm
como ideia inicial a análise e o estudo do mundo empírico em seu ambiente
natural, valorizando assim o contato prolongado e direto do pesquisador com o
ambiente e a situação-problema analisada.
Godoy (1995, p. 63)
esclarece:
Os
pesquisadores qualitativos estão preocupados com o processo e não simplesmente
com os resultados ou produto. O interesse desses investigadores está em
verificar como determinado fenômeno se manifesta nas atividades, procedimentos
e interações diárias. Não é possível compreender o comportamento humano sem a
compreensão do quadro referencial (estrutura) dentro do qual os indivíduos
interpretem seus pensamentos, sentimentos e ações.
A pesquisa foi
realizada com uma turma de alunos do 4º ano do ensino fundamental de uma escola
municipal situada na região oeste do Paraná. A turma é composta por 19 alunos
com idades entre 8 e 9 anos. A temática
da atividade desenvolvida por esses alunos surgiu da curiosidade destes, ao
realizar uma atividade na disciplina de Arte. Os dados da pesquisa foram
coletadas em um diário de campo do professor e registradas com fotografias e
com os registros escritos dos próprios alunos.
A turma estava
organizada na sala da disciplina de Arte da escola, onde havia apenas duas
grandes mesas possibilitando o trabalho em grupo.
Para identificar os 19
alunos que participaram da atividade de modelagem matemática, estes foram numerados
de 1 a 19. As análises se baseiam nos registros escritos dos alunos e no diário
de campo usado pela professora para anotações. As falas dos alunos são apresentadas
em forma de diálogos, nas figuras os escritos foram destacados e editados para
suprimir erros, as barras (/) são utilizadas para separarem os textos
apresentados nas figuras.
Atividade:
como descobrir o número do calçado
A proposta surgiu em
uma aula da disciplina de Arte, na qual ao fazer a interpretação da obra
Abaporu, da pintora Tarcila do Amaral, conforme a Figura 1, os alunos fizeram a
releitura da obra, mantendo o personagem e acrescentando acessórios ao mesmo (Figura
2). Isso acabou despertando a curiosidade de um aluno, que questionou qual número
de calçado serviria para aquele pé. Neste momento, acontece o primeiro contato
dos alunos com o problema, que Almeida, Silva e Vertuan (2012) chamam de
inteiração, conforme mostra o diálogo abaixo:
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Figura 1 –
Abaporu de Tarsila do Amaral
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Figura 2 –
Releitura da obra Abaporu (Aluno 3)
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Fonte:
Livro Encontro com Tarsila
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Fonte: Dados da pesquisa (2014)
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Aluno 1: Nossa! Olha o tamanho desse pé! É maior que
o corpo. Aluno 2: Imagina o tamanho de calçado que seria necessário para esse
pé!
A professora aproveita
a curiosidade dos alunos e questiona:
Professora: Mas como nós sabemos o número do nosso
calçado na hora de comprar?
Aluna 3: Todos nós sabemos o tamanho de nossos
calçados, né professora? É só experimentar!
Professora: Mas esta é a única maneira para saber o
tamanho? E se quiséssemos saber o tamanho adequado de calçado para nosso pé sem
ter que experimentar como faríamos?
Na tentativa de dar uma
explicação à professora, os alunos acabam ficando com mais dúvidas, e se
mostram curiosos por esta descoberta. A professora sugeriu então, que cada
aluno desenhasse o seu próprio pé em uma folha de papel sulfite (como mostra
figura 3) e, em seguida com o auxílio de uma régua o medisse, para saber o tamanho
de cada pé em centímetros.
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Figura 3 –
Construção do modelo matemático
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Figura 4 –
Construção do modelo matemático
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Fonte: Dados da pesquisa (2014)
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Fonte: Dados da pesquisa (2014)
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Aluno 1: Professora, meu pé mede 24,3 centímetros,
mas eu calço o número 37, o que tem isso a ver?
Professora: mas se não existe nenhuma relação entre
o número do nosso calçado com o tamanho do pé em centímetros como vamos medir?
Professora: Na história dessa numeração diz-se que
para descobrir, o número do calçado os europeus utilizavam grãos de cevada,
será que dá certo? Será possível fazer isso com algum outro material?
Aluno 4: Mas como é essa semente profe?
Observamos que neste
trecho, a professora fornece a informação da utilização do grão de cevada para
determinar o número do calçado. Como na cidade não havia esse grão, a
professora mostra apenas uma imagem do grão explicando seu tamanho e sua
utilização. Então, a primeira hipótese é levantada por um aluno:
Aluna 3: Mas se nós tentássemos com grão de feijão?
Acho que vai dar certo!
A primeira hipótese é
levantada: “medir o pé com grãos de feijão” e a investigação começa a ser feita
com sementes de feijão. Mas devido o tamanho dos grãos o resultado não foi
satisfatório, já que cada grão media em torno de um centímetro e, dessa forma
não correspondia ao número do calçado, mas sim o tamanho do pé em centímetros. Ao
buscar na história, esse é o tamanho do ponto utilizado no Japão para o número
de calçado.
Em seguida, é levantada
a segunda hipótese: “medir com grãos de arroz”.
[...]
Professora: Estamos chegando perto, já conseguimos
encontrar a numeração utilizada no Japão, fazendo uso de feijões.
[...]
Aluno 5: Professora, acho que podemos usar o arroz
né? Olha só o grão de arroz é menor que o grão de feijão.
[...]
Aluno 3: Nossa...que legal! Deu certo! Eu uso o
número 34, e coube certinho 34 grãos de arroz no desenho do meu pé.
O primeiro aluno a
terminar a atividade consegue chegar ao resultado desejado. Em seguida, outros
alunos também puderam verificar o que a colega havia dito, por meio da
matematização.
Segundo Tortola (2014),
as representações produzidas pelos alunos são os modelos matemáticos que
apresentam características peculiares, pois além do desenho as crianças utilizam
um texto para explicar o que entenderam. Os resultados podem ser visualizados
na Figura 5.
Figura
5 – Modelos matemáticos produzidos pelos alunos
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24,3 / 37 grãos / Então, meu número é 37. Eu entendi que você desenha o
pé na folha faz a reta e daí coloca os grãos retinho e dai vai dar o número
do calçado que você usa.
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Grãos de feijão / 37 grãos / Grãos de arroz
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Eu achei que foi muito legal, e que o feijão não da o mesmo que nem o
arroz e nem da o mesmo centímetro. / 23 centimetros / Com o feijão não deu
certo, por que o feijão é muito grande. O grão de arroz mede mais ou menos
0,7 centímetros e o grão de feijão mede mais ou menos 1,0 centimetros.
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Eu entendi que dá de medir o pé com grão de arroz, porque se colocar os
grãos de arroz um na frente do outro, vai caber trinta e quatro grãos dentro
do desenho do meu pé que é o número do meu pé. Eu achei muito legal e tem que
pensar muito por que tem que medir o pé e os grãos de arroz. / arroz igual a
mais ou menos 0,7. Feijão igual a mais ou menos 1,0 centimetro. / O grão de
feijão não deu certo porque o feijão é mais grande do que o arroz.
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Fonte: Dados da pesquisa (2014)
[...]
Aluno 7:
Sempre vai dar certo profe?
Professora:
Os grãos são todos do mesmo tamanho?
Aluno 7:
Não sei.
Professora:
Então vamos medir!
Aluno 3:
Tem alguns que são um pouquinho mais pequenos.
Professora: É por isso que a medida do nosso calçado foi padronizada. O tamanho
de cada ponto do número do calçado é de 2/3 de um centímetro, que corresponde a
0,666.
Professora: Agora vamos pensar um pouquinho: o que acontece se dividirmos
o tamanho do nosso pé em centimetros por 0,666 que é o tamanho do ponto que
utilizamos?
Aluno 1:
Dá o número do nosso calçado.
[...]
Assim, os alunos
conseguiram estabelecer uma relação de proporção entre o tamanho do pé e a
quantidade de semente que caberiam dentro da figura, ou seja conseguiram fazer
uma modelo matemático válido utilizando material já conhecido por eles para
fazer uma medição. Essa experiência foi possível, pois, para saber o número do
calçado, bastava dividir o tamanho do pé em centímetros por 0,666, que
corresponde ao tamanho do grão de arroz e equivalente a 2/3 de um centímetro.
Considerações
finais
Neste trabalho
utilizamos uma dúvida gerada pelos alunos durante uma aula de Arte, e a
transformamos em uma situação-problema para que os alunos, por meio da
matemática, produzissem modelos matemáticos para interpretar e compreender a
situação.
Na atividade os alunos
usaram o desenho para representar um modelo matemático para a situação, juntamente
com a produção escrita e oral coletadas durante as discussões sobre o tema.
Algumas hipóteses foram
testadas e levaram os alunos à conclusão de que é possível descobrir a
numeração brasileira do calçado sem precisar prová-lo, como questionava a
pergunta inicial proposta pelos alunos. Para isso, eles utilizaram grãos de
arroz enfileirados, desde o calcanhar até a ponto do dedo de maior comprimento
do pé, e, assim, descobriram o número apropriado para cada tamanho de pé. Por
meio desta estratégia, utilizada pelos alunos, a professora pode abordar o
cálculo de proporcionalidade, relacionando a medida do pé com a medida dos
grãos de arroz.
Com essa atividade, esperamos
contribuir com as práticas de sala de aula, apresentando uma possibilidade de
se trabalhar matemática por meio da modelagem.
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